Reflexões

Em determinadas ocasiões lembro-me de como o tempo passa depressa. E isso faz com que eu me pergunte se utilizamos nosso tempo bem ou não.

A utilização adequada do tempo é de extrema importância. Enquanto tivermos esse corpo e especialmente esse cérebro humano, creio que cada minuto é algo precioso.

Nossa existência diária é repleta de esperança, embora não haja nenhuma garantia quanto ao nosso futuro. Não há nenhuma garantia de que amanhã a esta hora estaremos aqui.

Mesmo assim, trabalhamos para isso apenas com base na esperança. Portanto, precisamos fazer o melhor uso possível do nosso tempo.

Creio que a melhor utilização do tempo é a seguinte: se for possível, servir aos outros; se não for possível, pelo menos procurar não prejudicá-los.

A reflexão sobre o que realmente tem valor na vida, o que confere significado à nossa vida, estabelece nossas prioridades.

O propósito da nossa vida precisa ser positivo. Para que nossa vida tenha valor, creio que devemos desenvolver boas qualidades humanas essenciais.  

Divisão por zero

Em geral, qualquer número pode ser dividido por qualquer outro número – a não ser quando estamos tentando dividir um número por zero. As calculadoras mostram mensagens de erro ao fazermos a divisão de um número por zero.

Antes de nos preocuparmos com a divisão por zero, temos que concordar quanto às regras às quais a divisão obedecerá. A divisão geralmente é apresentada como algo oposto à multiplicação. O que é 6 dividido por 2? É qualquer número que, multiplicado por 2, dá 6. A saber, 3. Portanto, as duas premissas 6/2 = 3 e 6 = 2 x 3 são logicamente equivalentes. E 3 é o único número que funciona no cálculo.

Infelizmente, essa abordagem nos leva a grandes problemas quando tentamos definir a divisão por zero. Quanto é 6 dividido por 0? É qualquer número que multiplicado por zero dá 6. Mas qualquer número multiplicado por 0 dá 0. Não temos como obter 6.

E assim, 6/0 está descartado. O mesmo ocorre com qualquer outro número dividido por 0, a não ser o próprio 0. E quanto dá 0/0?

Geralmente, se dividimos um número por si mesmo, o resultado é 1. Assim, poderíamos definir que 0/0 = 1. Agora, 0 = 1 x 0, portanto a relação com a multiplicação funciona desta vez.

Ainda assim, os matemáticos insistem na ideia de que 0/0 não faz sentido. O que os preocupa neste caso é uma regra aritmética. Suponha que 0/0 = 1. Então 2 = 2 x 1 = 2 x (0/0) = (2 x 0)/0 = 0/0 = 1.

O principal problema é que, como qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, deduzimos que 0/0 também poderá ser qualquer outro número. Se as regras da aritmética funcionam, e a divisão é o oposto da multiplicação, então 0/0 pode assumir qualquer valor numérico. Não é um valor único.

Às vezes os matemáticos usam a convenção de que a divisão de um número por zero tende ao infinito. Mas quando o fazem, precisam verificar muito cuidadosamente sua lógica, porque “infinito” é um conceito muito traiçoeiro. Seu significado depende do contexto e, em particular, não podemos presumir que seu comportamento será igual ao de qualquer número corriqueiro. E mesmo quando o infinito faz sentido, 0/0 ainda causa confusão.

Números negativos

     A ideia de números negativos – um número menor do que zero – foi um conceito difícil de desenvolver na matemática. Afinal de contas, como uma quantidade pode ser menor do que nada?

Os números negativos apareceram pela primeira vez no cenário da matemática quando as pessoas começaram a resolver equações (ou problemas que podiam ser expressos como equações). 

Os matemáticos chineses parecem ter sido capazes de tratar números negativos na resolução de equações. Entretanto, nossa matemática, como muito de nossa cultura ocidental, tem suas raízes principalmente no trabalho dos estudiosos gregos antigos. Apesar da profundidade de sua matemática e filosofia, os gregos ignoraram os números negativos completamente.

No século XVI, mesmo com o progresso da astronomia, navegação, ciências físicas, indústria da guerra, comércio e outras aplicações, matemáticos proeminentes rejeitaram os números negativos, considerando-os como “fictícios” ou “absurdos”. No início do século XVII a utilidade dos números negativos se tornou óbvia demais para ser ignorada e alguns matemáticos europeus passaram a usar os números negativos em seu trabalho.

   

Nessa época Descartes chamou as soluções negativas (raízes) de “falsas” e as soluções envolvendo raízes quadradas negativas de “imaginárias”. Entretanto, meio século mais tarde, ainda havia céticos mesmo nos postos mais altos da comunidade matemática, particularmente na Inglaterra.

O estudo das equações algébricas evoluiu para o estudo dos sistemas algébricos (sistemas com operações como as aritméticas). Nesse ambiente os números negativos – números que eram os opostos aditivos da sua contraparte positiva – se tornaram componentes criticamente importantes do sistema numérico, e as dúvidas sobre a sua legitimidade simplesmente desapareceram.

Hoje os números negativos são ensinados rotineiramente como uma parte fundamental da aritmética da escola elementar. Estamos tão acostumados com eles que algumas vezes é difícil entender as dificuldades quanto ao seu entendimento e como manipulá-los.