Divisão por zero

Em geral, qualquer número pode ser dividido por qualquer outro número – a não ser quando estamos tentando dividir um número por zero. As calculadoras mostram mensagens de erro ao fazermos a divisão de um número por zero.

Antes de nos preocuparmos com a divisão por zero, temos que concordar quanto às regras às quais a divisão obedecerá. A divisão geralmente é apresentada como algo oposto à multiplicação. O que é 6 dividido por 2? É qualquer número que, multiplicado por 2, dá 6. A saber, 3. Portanto, as duas premissas 6/2 = 3 e 6 = 2 x 3 são logicamente equivalentes. E 3 é o único número que funciona no cálculo.

Infelizmente, essa abordagem nos leva a grandes problemas quando tentamos definir a divisão por zero. Quanto é 6 dividido por 0? É qualquer número que multiplicado por zero dá 6. Mas qualquer número multiplicado por 0 dá 0. Não temos como obter 6.

E assim, 6/0 está descartado. O mesmo ocorre com qualquer outro número dividido por 0, a não ser o próprio 0. E quanto dá 0/0?

Geralmente, se dividimos um número por si mesmo, o resultado é 1. Assim, poderíamos definir que 0/0 = 1. Agora, 0 = 1 x 0, portanto a relação com a multiplicação funciona desta vez.

Ainda assim, os matemáticos insistem na ideia de que 0/0 não faz sentido. O que os preocupa neste caso é uma regra aritmética. Suponha que 0/0 = 1. Então 2 = 2 x 1 = 2 x (0/0) = (2 x 0)/0 = 0/0 = 1.

O principal problema é que, como qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, deduzimos que 0/0 também poderá ser qualquer outro número. Se as regras da aritmética funcionam, e a divisão é o oposto da multiplicação, então 0/0 pode assumir qualquer valor numérico. Não é um valor único.

Às vezes os matemáticos usam a convenção de que a divisão de um número por zero tende ao infinito. Mas quando o fazem, precisam verificar muito cuidadosamente sua lógica, porque “infinito” é um conceito muito traiçoeiro. Seu significado depende do contexto e, em particular, não podemos presumir que seu comportamento será igual ao de qualquer número corriqueiro. E mesmo quando o infinito faz sentido, 0/0 ainda causa confusão.

Números negativos

     A ideia de números negativos – um número menor do que zero – foi um conceito difícil de desenvolver na matemática. Afinal de contas, como uma quantidade pode ser menor do que nada?

Os números negativos apareceram pela primeira vez no cenário da matemática quando as pessoas começaram a resolver equações (ou problemas que podiam ser expressos como equações). 

Os matemáticos chineses parecem ter sido capazes de tratar números negativos na resolução de equações. Entretanto, nossa matemática, como muito de nossa cultura ocidental, tem suas raízes principalmente no trabalho dos estudiosos gregos antigos. Apesar da profundidade de sua matemática e filosofia, os gregos ignoraram os números negativos completamente.

No século XVI, mesmo com o progresso da astronomia, navegação, ciências físicas, indústria da guerra, comércio e outras aplicações, matemáticos proeminentes rejeitaram os números negativos, considerando-os como “fictícios” ou “absurdos”. No início do século XVII a utilidade dos números negativos se tornou óbvia demais para ser ignorada e alguns matemáticos europeus passaram a usar os números negativos em seu trabalho.

   

Nessa época Descartes chamou as soluções negativas (raízes) de “falsas” e as soluções envolvendo raízes quadradas negativas de “imaginárias”. Entretanto, meio século mais tarde, ainda havia céticos mesmo nos postos mais altos da comunidade matemática, particularmente na Inglaterra.

O estudo das equações algébricas evoluiu para o estudo dos sistemas algébricos (sistemas com operações como as aritméticas). Nesse ambiente os números negativos – números que eram os opostos aditivos da sua contraparte positiva – se tornaram componentes criticamente importantes do sistema numérico, e as dúvidas sobre a sua legitimidade simplesmente desapareceram.

Hoje os números negativos são ensinados rotineiramente como uma parte fundamental da aritmética da escola elementar. Estamos tão acostumados com eles que algumas vezes é difícil entender as dificuldades quanto ao seu entendimento e como manipulá-los.

Pensamentos 2014

Liderança é a arte de conseguir que uma pessoa faça o que você quer porque ela deseja fazê-lo.

Dwight Eisenhower (ex-presidente e general dos Estados Unidos)

Uma pessoa pode ter a melhor ideia do mundo – totalmente original e inovadora – mas, se ela não for capaz de convencer as outras pessoas, a ideia não terá nenhuma importância.

Gregory Berns (neurocientista e escritor)

Quando você perceber que para produzir precisa obter a autorização de quem não produz nada. Quando perceber que muitos ficam ricos pelo suborno e por influência mais que pelo trabalho e que as leis não nos protegem deles, mas, pelo contrário, são eles que estão protegidos de você. Então poderá afirmar, sem temor de errar, que sua sociedade está condenada.

Ayn Rand (filósofa russo-americana)

O grande perigo da droga é que ela mata a coisa mais importante que você vai precisar na vida, que é o poder de decidir. A única coisa que você tem na vida é o seu poder de decisão. Realmente a droga é fantástica, você vai gostar. Mas cuidado. Porque você não vai decidir mais nada.

Paulo Coelho (escritor, ex-dependente)

A grande verdade é que escolhemos a pessoa que desejamos ser. Todos os dias decidimos se continuamos do jeito que somos ou mudamos. A grande glória do ser humano é poder participar de sua autocriação.

Adaptado de Allan Kardec pelo autor do blog

Os sentidos humanos limitam a percepção que os humanos têm do mundo à sua volta. Essa limitação faz com que este ser reaja a ideias novas, erguendo barreiras psicológicas que o protejam do choque trazido pela inovação.

Carl Jung (psiquiatra suíço fundador da psicologia analítica)