Divisão por zero

Em geral, qualquer número pode ser dividido por qualquer outro número – a não ser quando estamos tentando dividir um número por zero. As calculadoras mostram mensagens de erro se tentarmos fazer a divisão de um número por zero.

A dificuldade não está na impossibilidade de definir a divisão por zero. Poderíamos, por exemplo, insistir em que o resultado da divisão de qualquer número por zero é 33. O que não podemos é fazer esse tipo de definição e esperar que todas as regras da aritmética convencional continuem a funcionar corretamente. A partir dessa definição absurda, poderíamos começar com 1/0 = 33 e aplicar as regras convencionais da aritmética para deduzir que 1 = 33 x 0 = 0.

Antes de nos preocuparmos com a divisão por zero, temos que concordar quanto às regras às quais a divisão obedecerá. A divisão geralmente é apresentada como algo oposto à multiplicação. O que é 6 dividido por 2? É qualquer número que, multiplicado por 2, dá 6. A saber, 3. Portanto, as duas premissas 6/2 = 3 e 6 = 2 x 3 são logicamente equivalentes. E 3 é o único número que funciona no cálculo.

Infelizmente, essa abordagem nos leva a grandes problemas quando tentamos definir a divisão por zero. Quanto é 6 dividido por 0? É qualquer número que multiplicado por zero dá 6... Qualquer número multiplicado por 0 dá 0. Não temos como obter 6.

E assim, 6/0 está descartado. O mesmo ocorre com qualquer outro número dividido por 0, a não ser – talvez – o próprio 0. E quanto a 0/0?

Geralmente, se dividimos um número por si mesmo, o resultado é 1. Assim, poderíamos definir que 0/0 = 1. Agora, 0 = 1 x 0, portanto a relação com a multiplicação funciona desta vez. Ainda assim, os matemáticos insistem na ideia de que 0/0 não faz sentido.

O que os preocupa neste caso é uma regra aritmética. Suponha que 0/0 = 1. Então 2 = 2 x 1 = 2 x (0/0) = (2 x 0)/0 = 0/0 = 1.

O principal problema é que, como qualquer número multiplicado por 0 é igual a 0, deduzimos que 0/0 também poderá ser qualquer outro número. Se as regras da aritmética funcionam, e a divisão é o oposto da multiplicação, então 0/0 pode assumir qualquer valor numérico. Não é um valor único.

Às vezes os matemáticos usam a convenção de que a divisão de um número por zero tende ao infinito. Mas quando o fazem, precisam verificar muito cuidadosamente sua lógica, porque “infinito” é um conceito muito traiçoeiro. Seu significado depende do contexto e, em particular, não podemos presumir que seu comportamento será igual ao de qualquer número corriqueiro. E mesmo quando o infinito faz sentido, 0/0 ainda causa confusão.